Комплексные величины электрической цепи

Практическая работа №12

«Расчет неразветвленной цепи переменного тока символическим методом»

Цель:закрепить способности расчета цепей переменного тока с применением всеохватывающих чисел при поочередном соединении активных и реактивных сопротивлений.

Теоретические положения

Для определения в случайный момент времени данной частоты следует знать два числа, к примеру амплитуду и исходную фазу (также ), можно записать, что в Комплексные величины электрической цепи хоть какой момент времени

.

Но заместо 2-ух реальных чисел можно воспользоваться одним всеохватывающим числом. Применение всеохватывающих чисел упрощает расчеты цепей переменного тока и находит обширное применение.

Всеохватывающим числом либо, короче, комплексом именуется сумма числа и надуманного , представляющего из себя квадратный корень из негативно числа либо произведение реального числа и квадратного корня Комплексные величины электрической цепи отрицательной единицы , именуемой надуманной единицей и обозначаемой в электротехнике буковкой .

Таким макаром, всеохватывающее число

. (1)

Действительное число графически изображают отрезком на оси абсцисс , которую именуют осью реальных величин либо, короче, реальной осью (набросок 1). К примеру, данное действительное положительное число изображено на рисунке 1 отрезком либо вектором на положительной полуоси реальных величин Комплексные величины электрической цепи.

Таким макаром, надуманная единица представляет собой поворотный множитель, при умножении на который вектор, изображающий действительное число , поворачивается на угол против направления движения часовой стрелки, т.е. в положительную сторону. Умножение на надуманного числа либо в общем случае всеохватывающего числа также приводит к повороту изображающего вектора на в том же направлении Комплексные величины электрической цепи. К примеру, умножение на поворачивает изображающий вектор на угол в том же направлении, и вектор выходит , изображающий отрицательное число , потому что

;

Тут принято во внимание, что по определению

Ось реальных величин
0

0
α
+1
+j

Набросок 1 – Графическое изображение реальных и надуманных чисел Набросок 2 – Разложение вектора на составляющие, совпадающие по направлению с осями координат Комплексные величины электрической цепи

Третье умноженье числа на дает отрицательное надуманное число

,

т.е.

и изображающий вектор вновь оборотится на и займет положение на отрицательной полуоси надуманных величин – вектор на рисунке 1.

4-ый поворот возвращает вектор в начальное положение, при всем этом

.

На рисунке 2 всеохватывающее число изображено вектором , проекция которого на действительную ось равна Комплексные величины электрической цепи его реальной части re , а проекция на надуманную ось – надуманной части Im ; таким макаром, можно записать, что

, (2)

где и – обозначения реальной и надуманной составляющих.

Положительные полуоси реальных и надуманных величин обычно обозначают знаками «+1» и «+j», как и показано на рисунке 2 и следующих. Плоскость на которой изображаются всеохватывающие величины либо числа Комплексные величины электрической цепи, именуют всеохватывающей плоскостью.

Векторы, изображающие всеохватывающие величины, записывают с чертой снизу ( , , , , ).

Длина вектора либо модуль вектора

. (3)

Угол α, образованный вектором и положительной полуосью реальных величин и именуемый аргументом вектора , определяется через его тангенс:

. (4)

Положение вектора на всеохватывающей плоскости определяется по знакам и либо значению .

Итак, вектор, изображающий всеохватывающую величину либо число, определяется реальной надуманной Комплексные величины электрической цепи частями либо значениями модуля и аргумента.

Не считая рассмотренной алгебраической формы записи всеохватывающих величин и чисел применяется еще тригонометрическая форма, при которой действительная и надуманная части комплекса (2) выражаются через модель и аргумент. Как видно на рисунке 2,

. (5)

Применяется еще 3-я – показательная форма всеохватывающих величин. Всеохватывающее число в Комплексные величины электрической цепи показательной форме выражается произведением модуля и поворотного множителя

(6)

Из (6) следует, что поворотный множитель (формула Эйлера)

, (7)

где и .

Поворотный множитель указывает, что вектор повернут относительно положительной полуоси реальных величин на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.

Потому что показатель степени должен Комплексные величины электрической цепи быть отвлеченным числом, то угол поворотного множителя должен выражаться в радианах. Но ради большей наглядности допускается его условная запись в градусах.

Разглядим несколько соответствующих примеров вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно уяснить:

1) ;

2)

3) ;

4) .

Всеохватывающие величины электронной цепи

Установлено, что секундное значение синусоидального тока либо напряжения можно изображать проекцией крутящего вектора на недвижную ось Комплексные величины электрической цепи. Покажем сейчас, что крутящиеся векторы, а как следует, и изображаемые ими синусоидальные величины можно выражать всеохватывающими числами.

Допустим, что требуется представить комплексом ток, амплитуда которого , а исходная фаза , т.е.

. (8)

Изобразим на всеохватывающей плоскости под углом к положительной полуоси реальной величин вектор

(9)

длиной повернутый относительно оси реальных Комплексные величины электрической цепи величин на угол (набросок 3). Если этот вектор крутить в положительном направлении с угловой скоростью , то секундное значение тока изобразиться проекцией вращающегося вектора на надуманную ось; это условно можно записать так:

.

0
Ѱ
+1
ω
+j
i
ωt

Набросок 3 Вектор тока на всеохватывающей плоскости

Отмечено, что обоюдное размещение векторов на векторной диаграмме со временем не меняется Комплексные величины электрической цепи; потому нет необходимости крутить векторы при изображении синусоидально изменяющихся величин на всеохватывающей плоскости. Довольно изобразить векторы в исходный момент времени, т.е. представить их комплексами. К примеру, ток (8) можно представить в символической записи (9).

Беря во внимание, что на векторных диаграммах обычно откладывают не амплитуды, а действующие значения Комплексные величины электрической цепи синусоидальных величин, всеохватывающее значение тока, либо, короче, всеохватывающей тока, запишем в виде

(10)

(отсутствие индекса показывает на то, что записано действующее значение всеохватывающей величины).

Аналогично производится символическая запись напряжения.

Если

, (11)

то комплекс напряжения

. (12)

Личное от деления комплекса напряжения на выводах цепи (ветки) на комплекс тока именуется всеохватывающим сопротивлением цепи и обозначается строчный буковкой Комплексные величины электрической цепи , т.е.

(13)

либо

, (14)

где - активное сопротивление; – реактивное сопротивление и – полное сопротивление.

Придав выражению (13) другой вид, получим

(15)

Закон Ома в всеохватывающей форме.

К примеру, для поочередной схемы замещения катушки индуктивности (набросок 4) при токе напряжение , где , либо в всеохватывающей форме

,

R
i
u
L

Набросок 4 – Эквивалентная схема цепи с сопротивлением

и индуктивностью

а всеохватывающее сопротивление

; (16)

потому что Комплексные величины электрической цепи для цепи с индуктивностью , то

. (17)

0
+1
φ>0
+j

0
+1
φ>0
+j

Набросок 5 – Треугольник сопротивлений - цепи Набросок 6 – Векторная диаграмма - цепи

Всеохватывающее сопротивление и его действительная и надуманная составляющие могут быть представлены на всеохватывающей плоскости (набросок 5) в виде треугольника сопротивлений.

Модуль всеохватывающего сопротивления, обозначенный строчной буковкой z, определяется по формуле:

,

а аргумент – через его синус либо тангенс:

, т.е Комплексные величины электрической цепи. .

Из (15) напряжения на выводах цепи:

.

1-ое слагаемое этого выражения представляет собой всеохватывающее напряжение на активном сопротивлении. Это напряжение совпадает по фазе с током (набросок 6), и, естественно, комплексы и имеют однообразный аргумент, равный нулю. 2-ое слагаемое – всеохватывающее напряжение на индуктивности , аргумент которого равен (как уже понятно, напряжение на индуктивности Комплексные величины электрической цепи опережает по фазе ток на ). Таким макаром, множитель в выражении ясно указывает, что на индуктивности меж напряжением и током имеется сдвиг фаз .

r
u
С
i

Набросок 7 – Цепь с сопротивлением и емкостью

Для неразветвленной цепи с активным сопротивлением и емкостью (набросок 7) при напряжение , где , всеохватывающее сопротивление

,

где т.е Комплексные величины электрической цепи. .

Треугольник сопротивлений показан на рисунке 8.

0
+1
φ<0
+j
r

0
+1
φ<0
+j
I

Набросок 8 Треугольник сопротивлений rC - цепи Набросок 9 – Векторная диаграмма rC – цепи
0
+1
φ>0
+j
ɡ

0
+1
φ<0
+j
ɡ

Набросок 10 – Треугольник проводимостей rL - цепи Набросок 11 - Треугольник проводимостей rC – цепи

Напряжение на емкости

Отстает по фазе от тока на 90° (набросок 9). Напряжения на выводах цепи

.

Следует направить внимание на то, что комплекс не Комплексные величины электрической цепи находится в зависимости от выбора исходной фазы тока либо напряжения. К примеру, для – цепи при хоть какой исходной фазе тока напряжение будет опережать ток цепи на угол φ, тангенс которого равен отношению . Вправду, выбрав у тока исходную фазу Ѱ (8), т.е. приняв , запишем напряжение (11) , которое должно как и раньше опережать ток на Комплексные величины электрической цепи тот же угол φ, потому что имеет то же значение, что и при нулевой исходной фазе. Как следует, и всеохватывающее сопротивление

. (18)

При расчетах разветвленных цепей нередко вводят всеохватывающую проводимость – величину, оборотную всеохватывающему сопротивлению:

, (19)

где – активная проводимость; – реактивная проводимость.

К примеру, для поочередной – цепи всеохватывающая проводимость (набросок 10)

.

где активная Комплексные величины электрической цепи проводимость и индуктивная определяются по известным уже выражениям

; ; .

Модуль всеохватывающей проводимости можно найти по известной формуле

,

а аргумент – через его синус либо тангенс:

,

откуда видно, что , т.е. напряжение опережает по фазе ток.

Для поочередной – цепи всеохватывающая проводимость (набросок 11)

,

где активная проводимость и емкостная определяются по известным уже выражениям

; = и .

Модуль всеохватывающей проводимости

,

а аргумент Комплексные величины электрической цепи определяется через синус либо тангенс:

; .

Откуда следует, что , т.е. напряжение опережает по фазе напряжение.

В конце концов, для – цепи можно написать

;

,

где активная и реактивная проводимости

; ;

;

угол при либо при ;

угол при либо при .

Пример 1.Неразветвленная цепь с активным сопротивлением Ом и емкостным сопротивлением Ом находится под напряжением В Комплексные величины электрической цепи. Найти ток в цепи.

Решение. Всеохватывающее сопротивление

Ом;

модуль и аргумент этого сопротивления

Ом;

; .

То же сопротивление в показательной форме

Ом.

Ток в цепи

А;

А.

Если ток и напряжение в цепи выражены в всеохватывающей форме, то активную и реактивную мощности цепи определяют, умножая всеохватывающее напряжение на сопряженный полный ток.

Допустим, что , напряжение , т Комплексные величины электрической цепи.е. вектор напряжения опережает вектор тока на угол , что при положительном значении угла соответствует индуктивной нагрузке.

Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока представляет мощность в всеохватывающей форме, либо короче, всеохватывающую мощность. Вправду,

. (20)

Таким макаром, действительная часть приобретенного комплекса выражает активную мощность, а надуманная – реактивную мощность цепи Комплексные величины электрической цепи. При емкостной нагрузке, т.е. при , надуманная часть всеохватывающей мощности имеет отрицательный символ ( ).

Пример 2.Найти активную и реактивную мощности цепи, если ток А, напряжение В.

Решение.

; ; .


kompleksnij-analiz-fotosensibiliziruyushej-aktivnosti-porfirinov-i-kisloroda-v-svyazi.html
kompleksnij-analiz-risunkov-nesushestvuyushih-zhivotnih.html
kompleksnij-analiz-trudovih-pokazatelej-predpriyatiya-na-primere-zakritogo-akcionernogo-obshestva-izhev.html